Tetraedro Wikipedia, la enciclopedia libre. Un tetraedro del griego cuatro y asiento, base de apoyo o cara es un poliedro de cuatro caras. Con este nmero de caras es un poliedro convexo, sus caras triangulares y concurren tres caras por cada vrtice. Si las cuatro caras del tetraedro son tringulos equilteros, iguales entre s, el tetraedro se denomina regular. Icosahedron.svg' alt='Polyhedron Models Wenninger Pdf' title='Polyhedron Models Wenninger Pdf' />El tetraedro es el smplex tridimensional. Propiedades geomtricaseditarEn todo tetraedro, sea o no regular, se verifica que Los segmentos que unen los puntos medios de las aristas opuestas son concurrentes en un punto, este punto est en el punto medio de los segmentos. Los segmentos que unen cada vrtice con los puntos de interseccin de las medianas de su cara opuesta son tambin concurrentes en un punto, que los divide separando tres cuartas partes del lado del vrtice respectivo Teorema de Commandino. Los seis planos perpendiculares a las aristas por sus puntos medios pasan por un mismo punto, centro de la esfera circunscrita al tetraedro. Las rectas perpendiculares a las caras por su circuncentro son concurrentes en un punto, centro de la esfera circunscrita al tetraedro. Alguns poliedros tm dois lados distintos de sua superfcie, por exemplo, o interior e exterior em um modelo de papel de um poliedro convexo pode ser dada de uma. In geometry, any polyhedron is associated with a second dual figure, where the vertices of one correspond to the faces of the other and the edges between pairs of. Acronis True Image 2014 Keygen Manager here. Los planos bisectores de los diedros interiores de un tetraedro concurren en un punto equidistante de las cuatro caras, centro de la esfera inscrita al tetraedro. Propiedades mtricaseditarExiste una frmula general para calcular del volumen de un tetraedro OABC, donde O coincide con el origen de coordenadas, sea o no regular, en funcin de las coordenadas cartesianas x, y, z de tres de sus vrtices A, BC V1. Ax. Bx. Cy. Ay. By. Cz. Az. Bz. Cdisplaystyle Vfrac 16,beginvmatrixxA xB xCyA yB yCzA zB zCendvmatrixEsta frmula tambin se puede escribir en trminos de las coordenadas cartesianas de los cuatro vrtices x. V1. 3x. 1y. 1z. Vfrac 13,beginvmatrixx1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1x4 y4 z4 1endvmatrixOtra frmula, que puede obtenerse de la anterior, permite calcular el volumen de un tetraedro, regular o irregular, conociendo la longitud de dos aristas opuestas  l. V1. 6l. 1l. 2hsindisplaystyle Vfrac 16cdot l1cdot l2cdot hcdot sin theta Esta frmula es aplicable para calcular, de forma aproximada, el volumen de un terrapln, de una carretera o una presa de materiales sueltos, por ejemplo, a partir de la longitud de su coronacin  l. El rea de un tetraedro regular es la siguiente Atetraedro4. Acdisplaystyle Arm tetraedro4,Acdonde Ac es el rea de una de sus caras. Alturas del tetraedroeditarUn tetraedro no necesariamente regular se define en 3 conociendo las coordenadas de sus cuatro vrtices, por ejemplo V1x. V2x. 2,y. 2,z. 2,V3x. V4x. 4,y. 4,z. 4displaystyle scriptstyle V1x1,y1,z1,V2x2,y2,z2,V3x3,y3,z3,V4x4,y4,z4. Cualquiera de sus cuatro caras se define por el tringulo formado por los tres vrtices de la misma, cada una de las caras define un plano plano por tres puntos base de la altura que forma con el vrtice opuesto, siendo dicho vrtice opuesto el punto restante que no se us al definir la cara. Se puede imaginar un tetraedro pensando en que su base est definida por el tringulo formado por tres vrtices cualquiera del mismo a los que llamaremos V2,V3displaystyle scriptstyle V2,V3 y V4displaystyle scriptstyle V4 y que existe un vrtice opuesto a esa base al que llamaremos V1displaystyle scriptstyle V1. Para calcular la altura que forma un vrtice opuesto cualquiera con su cara base solo hay que poner los valores de dicho vrtice opuesto en V1x. V1x1,y1,z1 y despus poner los valores de los tres vrtices de la cara opuesta al mismo en V2x. V3x. 3,y. 3,z. 3displaystyle scriptstyle V2x2,y2,z2,V3x3,y3,z3 y V4x. V4x4,y4,z4, luego aplicarlos en la frmula siguiente Alturax. Alturaleftfrac textx. Para conocer las cuatro alturas del tetraedro basta con ir rotando las coordenadas de sus vrtices. Esta frmula no requiere que el tetraedro sea regular, vale para cualquier tetraedro no degerado. Tetraedro regulareditarEs un poliedro formado por cuatro caras que son tringulos equilteros, y cuatro vrtices en cada uno de los cuales concurren tres caras. Es uno de los cinco poliedros perfectos llamados slidos platnicos. Adems es uno de los ocho poliedros convexos denominados deltaedros. Aplicndole la nomenclatura estndar de los slidos de Johnson podra ser denominado pirmide triangular. Para la escuela pitagrica el tetraedro representaba el elemento fuego, puesto que pensaban que las partculas tomos del fuego tenan esta forma. Clculo de dimensiones fundamentaleseditarExclusivamente a partir de la arista a se pueden calcular el resto de las dimensiones fundamentales de un tetraedro regular. As, para las esferas singulares del tetraedro Radio. R de la esfera circunscrita al tetraedro la que contiene en su superficie los cuatro vrtices del mismo R6. Rfrac sqrt 64cdot aapprox 0,6. Radio r de la esfera inscrita al tetraedro la tangente a las cuatro caras del tetraedro r6. Radio de la esfera tangente a las seis aristas del tetraedro 2. En un tetraedro regular cada pareja de aristas opuestas las que no concurren en un mismo vrtice son ortogonales entre s, siendo la mnima distancia entre ellas el segmento que une sus puntos medios, de longitud doble al radio de la esfera tangente a las aristas del tetraedro. La altura. H del tetraedro apoyado el tetraedro de manera estable sobre un plano horizontal, distancia perpendicular desde el plano de apoyo al vrtice opuesto H6. Hfrac sqrt 63cdot aapprox 0,8. Volumen, rea y desarrolloeditar. Animacin de uno de los desarrollos del tetraedro. Dado un tetraedro regular de arista a, podemos calcular su volumen. V mediante la siguiente frmula V2. Vfrac sqrt 21. Y el rea total de sus caras A que es 4 veces el rea de una de ellas, Ac, mediante A4Ac43. A4cdot Ac4cdot frac sqrt 34cdot a2sqrt 3cdot a2approx 1,7. Los ngulos planos que forman las aristas concurrentes son, como en el resto de los slidos platnicos, todos iguales y con un valor de 6. Los ngulos diedros que forman las caras son, como en el resto de los slidos platnicos, todos iguales, y pueden calcularse 2arcsin3. Los ngulos slidos que forman los vrtices son, como en el resto de los slidos platnicos, todos iguales, y pueden calcularse Ac. H23. 4a. 26. 3a23. AcH2frac frac sqrt 34cdot a2leftfrac sqrt 63cdot aright2frac 3sqrt 38srapprox 0,6. Propiedades particulareseditar. Rotaciones en torno a un eje y reflexin respecto a un plano de un tetraedro regular. Un tetraedro regular tiene cuatro ejes de simetra de orden tres, las rectas perpendiculares a cada cara por el vrtice opuesto de tetraedro y seis planos de simetra, los formados por cada arista y el punto medio de la arista opuesta. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetra total de 2. Los elementos de simetra anteriores definen uno de los grupos de simetra tetradricos, el denominado Td segn la notacin de Schlfli. Poliedro Wikipdia, a enciclopdia livre. Poliedros em revoluo ao redor de um eixo fixadoMatemateca IME USP. Video demonstrando uma revoluo de poliedros. Em geometria elementar, o poliedro poliedros ou poliedros plurais um slido em trs dimenses eixo dos X, Y, Z. A palavra poliedro vem do grego clssico, o poly tronco de, muitas hedra forma de, faces. Cubos e pirmide so exemplos de poliedros. Diz se que o poliedro convexo se sua superfcie compreendendo suas faces, arestas e vrtices no se intercepta e o segmento de linha que une quaisquer dois pontos do poliedro est contido no interior ou na superfcie. Um poliedro um exemplo tridimensional do politopo mais geral em qualquer nmero de dimenses. Na geometria elementar,1 as faces so polgonos regies de planos que se encontram em pares ao longo de suas arestas, que so segmentos de linha reta, e com as arestas se encontrando em pontos de vrtice. Tratar um poliedro como um slido delimitado por faces planas e bordas retas no muito preciso Por exemplo, difcil conciliar com poliedros estrela. Grnbaum 1. 99. 4, p. O Pecado Original na teoria dos poliedros remonta a Euclides, e atravs de Kepler, Poinsot, Cauchy e muitos outros. Muitas definies de poliedro foram dadas em contextos particulares, alguns mais rigorosos do que outros. Por exemplo, as definies baseadas na idia de uma superfcie de delimitao em vez de um slido so comuns. No entanto, essas definies nem sempre so compatveis em outros contextos matemticos. Uma abordagem moderna trata o poliedro geomtrico como uma injeo no espao real, a realizao, de algum poliedro abstrato. Qualquer poliedro pode ser construdo a partir de diferentes tipos de elemento ou entidade, cada um associado com um nmero diferente de dimenses 3 dimenses O interior o volume limitado pelas faces. Pode ou no ser realizado como um corpo slido. A face um polgono delimitado por um circuito de arestas e geralmente tambm o plano regio dentro do limite. Estas faces poligonais formam a superfcie polidrica. Uma aresta une um vrtice a outro e um a outro, e geralmente um segmento de linha. As bordas juntas formam o esqueleto polidrico. Um vrtice vrtices mltiplos um ponto de canto. Diferentes abordagens e definies podem exigir realizaes diferentes. Em tais definies elementares geomtricas e baseadas em conjuntos, o poliedro tipicamente entendido como sendo um exemplo tridimensional do politopo mais geral em qualquer nmero de dimenses. Por exemplo, um polgono tem um corpo bidimensional e sem faces, enquanto um 4 politopo tem um corpo de quatro dimenses e um conjunto adicional de clulas tridimensionais. Em outras disciplinas matemticas, o termo poliedro pode ser usado para se referir a uma variedade de construes especializadas, algumas geomtricas e outras puramente algebraicas ou abstratas. Em tais contextos, a definio do termo poliedro pode no ser consistente com um politopo, mas em contraste com ele. Uma caracterstica definidora de quase todos os tipos de poliedros que apenas duas faces se unem ao longo de qualquer bordo comum. Do mesmo modo, qualquer aresta encontra apenas dois vrtices, um em cada extremidade. Estas duas caractersticas so duplas entre si e asseguram que a superfcie polidrica est ligada continuamente e no termina abruptamente ou se separa em direes diferentes. Por razes semelhantes, a superfcie pode no ser divisvel em duas partes, de modo que cada parte um poliedro vlido. Isso exclui tanto os poliedros compostos auto intersectantes quanto as figuras unidas apenas por um vrtice ou uma aresta, como dois tetraedros unidos em um pice comum. Cada poliedro simples sem interseco automtica tem pelo menos duas faces com o mesmo nmero de arestas. Poliedros podem ser classificados e muitas vezes so nomeados de acordo com o nmero de faces. O sistema de nomeao baseado no grego clssico, por exemplo tetraedro 4, pentaedro 5, hexaedro 6, triacontaedro 3. A classe topolgica de um poliedro definida por sua caracterstica e orientabilidade de Euler. Nesta perspectiva, qualquer superfcie polidrica pode ser classificada como um certo tipo de coletor topolgico. Por exemplo, a superfcie de um poliedro convexo ou mesmo simplesmente conectado uma esfera topolgica. A caracterstica de Euler x relaciona o nmero de vrtices V, bordas E, e faces F de um poliedro Isto igual caracterstica topolgica de Euler de sua superfcie. Para um poliedro convexo ou mais geralmente qualquer poliedro simplesmente conectado isto, com superfcie uma esfera topolgica,x 2. Para formas mais complicadas., a caracterstica de Euler refere se ao nmero de furos toroidais, alas e ou tampas cruzadas na superfcie e ser menor que 2. A descoberta de Leonhard Euler da caracterstica que carrega seu nome marcou o comeo da disciplina moderna da topologia. Em todo poliedro com A arestas, V vrtices e F faces, vale a relao. V F A 2 ou V A F 2. Essa relao verdadeira para todos os poliedros convexos. Os poliedros regulares so conhecidos desde a antiguidade. O livro XIII dos Elementos de Euclides cerca de 3. C. inteiramente dedicado aos slidos regulares e contm extensos clculos que determinam, para cada um, a razo entre o comprimento da aresta e o raio da esfera circunscrita. A soma dos ngulos de todas as faces de um poliedro convexo   S V 2. Onde V  o nmero de vrtices e r  um ngulo reto. A soma das medidas dos ngulos das faces de um poliedro convexo dada pela expresso. S V 2. 3. 60 O poliedro apresenta somente faces planas. Auto interseo Klein bottle, aproximando se como poliedro quadrilateral. Alguns poliedros tm dois lados distintos de sua superfcie, por exemplo, o interior e exterior em um modelo de papel de um poliedro convexo pode ser dada de uma cor diferente ,a cor interior ser escondido da vista. Dizemos que a figura orientvel. Alguns poliedros orientveis no convexos tm regies viradas de dentro para fora de modo que ambas as cores aparecem no exterior em lugares diferentes. Mas para alguns poliedros, como o tetrahemihexaedro, isso no possvel e a superfcie dita ser unilateral. Tal poliedro no orientvel. Todos os poliedros com a caracterstica Euler de nmero mpar no so orientveis. Uma dada figura com mesmo lt 2 pode ou no ser orientvel. O octaedro dual de um Cubo. O octaedro dual de um cubo. Para cada poliedro existe um poliedro dual, tendo O octaedro dual de um Cubo9Faces no lugar dos vrtices do original e vice versa,O mesmo nmero de arestas. A mesma caracterstica e orientabilidade de Euler. O dual de um poliedro convexo e de muitos outros poliedros pode ser obtido pelo processo de reciprocidade polar. Poliedros duplos existem em pares. O dual de um dual apenas o poliedro original novamente. Alguns poliedros so auto dual, o que significa que o dual do poliedro congruente com o poliedro original. Para cada vrtice pode se definir uma figura de vrtice, que descreve a estrutura local do poliedro em torno do vrtice.